Как решать задание 19 ЕГЭ по математике (профиль)

Решение 19 задания ЕГЭ по математике (профиль)

Разбор задания 19 ЕГЭ по математике

Задача 19 считается одной из самых сложных в профильном ЕГЭ по математике, однако набрать 1–2 первичных балла в ней вовсе не так уж сложно.

Согласно спецификации задание 19 имеет дело с построением математических моделей:



движ1.png


Традиционно задача 19 содержит в себе три подзадачи — пункты а), б) и в).

В пункте а) обычно предлагается решить несложную задачу на построение примера. За какой-либо правильный пример (а их может быть и несколько!) эксперт поставит 1 первичный балл. Особых обоснований в этом пункте не требуется, нужно лишь показать, что приведённый пример действительно удовлетворяет условию задачи.

Пункт б) существенно отличается от пункта а). В нём, как правило, требуется строго доказать, что требуемый пример построить нельзя. Стоит этот пункт тоже 1 балл.

Пункт в), оцениваемый в 2 первичных балла, уже немного сложнее. В нём требуется построение примера, обладающего в некотором смысле «экстремальными» характеристиками (например, задача на максимум или минимум выражения, принимающего дискретные значения), а также доказательство того, что именно этот пример, а не какой-то другой обладает данными характеристиками.

Рассмотрим методы решения 19 задачи из варианта 7 книги «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года». Издательство «Легион».

19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?

Решение.

а) Да, может. Числа 27, 57 и 147 дают в сумме 231.

б) Предположим, что это возможно. Каждое число оканчивается на 7, а их сумма на 0. Такое возможно, если количество чисел кратно 10. Значит, таких чисел в любом случае не меньше 10.

Число, делящееся на 3, оканчивается на 7 только, если оно имеет вид 3n, где n – натуральное число, оканчивающееся на 9. Найдём сумму 10 наименьших чисел, оканчивающихся на 7:

27 + 57 + 87 + … = 3·(9 + 19 + … + 99) = 3·540 = 1620 > 1590.

Противоречие. Следовательно, требуемое невозможно.

в) Чтобы узнать последнюю цифру в сумме из n чисел, оканчивающихся на 7, нужно определить последнюю цифру в числе 7n. Последняя цифра равна 6, если n = 8, 18, … и т.д.

Найдём сумму 8 наименьших чисел, оканчивающихся на 7:

27 + 57 + 87 + …+ 237 = 3·(9 + 19 + … + 79) = 3·88·4 = 1056.

Это и будет примером в данной задаче.

Таким образом, наибольшее количество чисел на доске равно 8.

Ответ : а) да; б) нет; в) 8.

Нетрудно убедиться в том, что в пункте а) здесь возможны и другие примеры. Так, числа

27, 87 и 117 тоже делятся на 3 и дают в сумме 231.

В пункте в) рассуждения, приводящие к тому, что количество чисел обязано оканчиваться на 8, т.е. n = 8, 18, … и т.д., называются оценкой. Однако одной лишь оценки достаточно только для получения 1 балла, ведь в реальности пример, реализующий эту оценку, может и не существовать. В данной задаче построение (единственного!) примера, реализующего эту оценку, т.е. 27, 57, …, 237, даёт ещё 1 балл в пункте в).

Если же в пункте в), подобно пункту а), ограничиться только построением примера, пусть и правильного, то без оценки это, скорее всего, приведёт к выставлению 0 баллов за пункт в).

Таким образом, типичные критерии по проверке задания 19 выглядят так:

Содержание критерия

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

2

Верно получен один из следующих результатов:

– обоснованное решение пункта а;

– обоснованное решение пункта б;

– искомая оценка в пункте в;

– пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Итак, в большинстве случаев для решения задания 19 нужно запомнить следующую структуру этой задачи:

- а) Да + пример;

- б) Нет + доказательство;

- в) Оценка + пример.

Отметим, что наиболее типичной ошибкой в этом задании является приведение только ответов, как в случае заданий с кратким ответом, не подкреплённых никакими рассуждениями. Т.е. просто за ответы а) да; б) нет; в) 8 в рассмотренной задаче никаких баллов Вы не получите.

Что требуется для успешного решения задания 19 ЕГЭ?

Если времени до ЕГЭ достаточно, то рекомендуется изучить внимательно темы, представленные в части 5 книги «Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом». Издательство «Легион».

Если времени мало, то рекомендуем

  • Повторить основные признаки делимости (на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11);
  • Изучить некоторые приёмы доказательств невозможности (от противного, принцип Дирихле, чётность–нечётность);
  • Повторить основные формулы, связанные с арифметической прогрессией и средним арифметическим.

Разберём пример 397, стр. 414–415 из книги «Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом». Издательство «Легион».

задание.png

решение.png
ответ111.png